Operações Lógicas

Operações Lógicas sobre Proposições 

Os conectivos lógicos são responsáveis pela formação de proposições a partir de proposições. Essas operações lógicas realizadas sobre os enunciados obedecem a regras de um cálculo, denominado Cálculo Proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números.

A fim de simplificarmos o estudo, apresentaremos os conectivos lógicos através de suas respectivas tabelas-verdade.

1 Negação: ‘~‘

Dado um enunciado qualquer ‘p’, podemos formar o enunciado ‘~p’, dito negação de ‘p’. Se ‘p’ for um enunciado verdadeiro, ‘~p’ é falso. Se ‘p’ for um enunciado falso, então ‘~p’ é verdadeiro.

p	~p
V F	F V

Assim, considerando o enunciado

                   

p: O sol é uma estrela

sua negação será

~p: O sol não é uma estrela

ou  também

~p: não é o caso que o sol seja uma estrela

Uma vez que p é verdadeiro, teremos então que ~p é um enunciado falso.

Exercício: Escreva ~p em linguagem corrente e indique seu valor lógico:

1)   p: A neve é branca

2)   p: Roma é a capital da França

3)   p: Realengo pertence à Zona Sul do Rio.

2 Conjunção ‘ /\ ’

Dados dois enunciados, podemos obter um terceiro, dito conjunção dos dois primeiros, pela ação do conectivo  ‘/\’. Assim, dados dois enunciados:

Brasília é uma cidade

e

Brasília é a capital do Brasil

podemos formar a conjunção

Brasília é uma cidade /\ Brasília é a capital do Brasil

É importante ter presente que o uso dos conectivos em Lógica permite ligar enunciados sem qualquer tipo de vínculo significativo entre eles, como por exemplo:

O café está amargo /\ Cláudia estuda música

A interpretação do conectivo ‘/\’ é análoga à linguagem corrente, veja pela tabela:

p	q	p /\ q
V V F F	V F V F	V F F F

Assim, considerando os enunciados

                              p: A neve é branca

                              q: 2<5

a conjunção será

                              p/\q: A neve é branca e 2<5

                   

Uma vez que p é verdadeiro e q também é verdadeiro, teremos então p/\q verdadeiro.

Exercício: Indique o valor lógico de pÙq considerando os seguintes enunciados:

1)   p: O enxofre é verde    -   q: 7 é um  número primo

2)   p: A Lua é uma estrela    - q: Saturno é um planeta

3)   p: Cabral descobriu o Brasil  -  q: Portugal é um continente

3 Disjunção ‘\/’

Na linguagem corrente existem, pelo menos, dois usos distintos do conectivo ‘ou’ – o uso exclusivo e o uso não-exclusivo. Vejamos os exemplos:

(1)  Mariana é alagoana ou cearense

(2)  Carla é médica ou professora

No primeiro exemplo o uso do ‘ou’ é exclusivo pois as duas situações não podem ocorrer simultaneamente.

No segundo exemplo temos a utilização do ‘ou’ não-exclusivo pois ambas as proposições podem ser verdadeiras.

A disjunção representada pelo conectivo lógico ‘\/’ tem o sentido não-exclusivo, conforme apresentado pela tabela abaixo:

p	q	p \/ q
V V F F	V F V F	V V v F

Assim, considerando os enunciados

                              p: A neve é azul

                              q: 2>5

a disjunção será

                              p\/q: A neve é azul \/ 2>5

                   

Uma vez que p é falso e q também é falso, teremos então pÚq falso.

Exercício: Indique o valor lógico de p\/q considerando os seguintes enunciados

1) p: O enxofre é verde    -   q: 7 é um  número primo

2) p: A Lua é uma estrela    - q: Saturno é um planeta

3) p: Cabral descobriu o Brasil  -  q: Portugal é um continente

4 Condicional ‘=>’ (se ... então)

Para melhor compreendermos esse conectivo, vejamos quatro possíveis casos para a seguinte declaração:

(1) Se amanhã fizer sol então Joana irá à praia

1^o caso: Fez sol e Joana foi à praia – podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

2^o caso: Fez sol e Joana não foi à praia – aqui podemos concluir que (1) é um enunciado falso.

3^o caso: Não fez sol e Joana não foi à praia – podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

4^o casos: Não fez sol e Joana foi à praia – ainda podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

Assim, a tabela de valores lógicos da condicional é:

p	q	p => q
V V F F	V F V F	V F V V

Na condicional p => q

i)            ‘p’ é dito antecedente da condicional ou condição suficiente para ‘q’

ii)           ‘q’ é dito conseqüente da condicional ou condição necessária para ‘p’

Exercício: Indique o valor lógico de p => q considerando os seguintes enunciados

1) p: O enxofre é verde    -   q: 7 é um  número primo

2) p: A Lua é uma estrela    - q: Saturno é um planeta

3) p: Cabral descobriu o Brasil  -  q: Portugal é um continente

5 Bicondicional ‘<=>’ (se e somente se)

Dados dois enunciados podemos formar um terceiro, dito bicondicional dos dois primeiros, pela ação do conectivo ‘<=>’. Assim, ‘p<=>q’, será dito bicondicional de ‘p’ e ‘q’. Um enunciado dessa forma será considerado verdadeiro se seus constituintes tiverem o mesmo valor lógico, isto é, se ambos forem verdadeiros ou se ambos forem falsos.

          Tem-se então a seguinte tabela de verdade para a bicondicional:

p	q	p<=>q
V V F F	V F V F	V F F V

Na bicondicional ‘p<=>q’

i)            ‘p’ é dito condição necessária e suficiente para ‘q’

ii)           ‘q’ é dito condição necessária e suficiente para ‘p’

Note-se que o conectivo ‘<=>’ pode ser definido mediante ‘=>’ e ‘/\’. Assim a fórmula ‘p<=>q’ equivale à fórmula ‘(p=>q) /\ (q=>p)’  .

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Números Complexos

Definição

Denomina-se número complexo toda expressão da forma a + bi, em que a e b são números reais, e i é chamado de unidade imaginária, sendo i² = -1

Forma Algébrica

Todo número complexo pode ser escrito da forma Z = a + bi, denominada forma algébriga, onde:
a = parte real do número complexo e pertence ao conjunto dos número reais
bi = parte imaginária, observando que b pertence ao conjunto dos números reias.


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Desafio dos 4 quatros.

Desafio aceito?

O desafio consiste em escrever um número qualquer usando apenas operaçãoes basicas e apenas quatro números quatro. Por exemplo: como fazer para formar número 0?

44 - 44 = 0

Observe que, foi usado apenas quatro números quatro.

Exemplo: Como formar o número 1?

44 \ 44 = 1

Agora observando essas regras podemos formar qualquer número de 0 à 100. Mas nosso desafio é formar apenas até o número 25, topa?


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Tautologia, Contradição e Contingência

Tautologia, Contradição e Contingência

1 Tautologia

Denomina-se tautologia ou proposição tautológica a proposição composta que é sempre verdadeira. Na tabela de verdade de uma proposição tautológica, a última coluna contém somente valores V (verdadeiro).

2 Contradição

Denomina-se contradição ou proposição contraditória a proposição composta que é sempre falsa. Na tabela de verdade de uma proposição contraditória, a última coluna contém somente valores F (falso).

3 Contingência

Denomina-se contingência ou proposição proposição contingencial a proposição composta que pode ser verdadeira e pode ser falsa.  Na tabela de verdade de uma proposição tautológica, a última coluna contém valores V (verdadeiro) e F(falso).

Trigonometria resumo

Trigonometria

Um pequeno resuminho de trigonometria

 

Proposição e Valor Lógico

1.   Proposição e Valor Lógico

Proposição:

          É todo conjunto de palavras ou símbolos ao qual podemos atribuir um valor lógico.

Valor Lógico:

          Diz-se que o valor lógico de uma proposição é “verdade” (V) se a proposição é verdadeira e “falsidade” (F) se a proposição é falsa.

Exemplos:

a)   A Lua é um satélite.

b)   Recife é a capital de Pernambuco.

c)    Vasco da Gama descobriu o Brasil.

d)   Dante escreveu Os Lusíadas.

e)   ½ é um número inteiro.

2.   Princípio da não contradição e do 3^o excluído

i) Princípio da não contradição

          Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

ii) Princípio do 3^o excluído

          Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

Assim, esse princípios afirmam que

          Toda proposição tem um, e um só, dos valores V, F

3.   Proposição simples e Proposição composta.

Proposição simples:

          Chama-se proposição simples  ou atômica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.

As proposições simples são igualmente designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s,...

Exemplos:

          p: Carlos é Careca

          q: Pedro é estudante

          r: o número 25 é quadrado perfeito

Proposição composta:

          Chama-se proposição composta aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições.

          As proposições compostas são habitualmente designadas pelas letras maiúsculas P, Q, R, S,...

Exemplos:

         

          P: Carlos é careca e Pedro é estudante

          Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante

          R: Se Carlos é careca então é infeliz

4.   Tabela-Verdade

O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado.

          Utilizaremos a tabela-verdade para verificar todos os possíveis valores lógicos de uma proposição composta.

Atribuição de valores:

          Sabemos que uma proposição simples é verdadeira ou falsa:

P

V

F

          Se uma proposição é composta por n proposições simples então teremos 2ⁿ atribuições possíveis.

Exemplos:

1)   n=2  ( p, q ) teremos 4 atribuições possíveis

	p	q
1	V	V
2	V	F
3	F	V
4	F	F

2) n=3  (p, q, r) teremos 8 atribuições possíveis

	p	q	r
1	V	V	V
2	V	V	F
3	V	F	V
4	V	F	F
5	F	V	V
6	F	V	F
7	F	F	V
8	F	F	F

Exercícios: Faça a tabela de atribuições possíveis para n=4 e n=5.




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