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Na Figura está representado o retângulo de jogo de um campo de futebol. Determine...

By Smatias / Posted on 00:13 / ,
Na Figura está representado o retângulo de jogo de um campo de futebol. Determine x e y.
campo de futebol
Resolução do exercício de matemática

 \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + y - 1 = 115} \\ {\frac{3}{2}y - \frac{x}{3} - 5 = 89} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - 2x + 116} \\ {\frac{3}{2}\left( { - 2x + 116} \right) - \frac{x}{3} = 94} \end{array}} \right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - 2x + 116} \\ { - 3x + 174 - \frac{x}{3} = 94} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - 2x + 116} \\ { - 3x - \frac{x}{3} = - 80} \end{array}} \right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - 2x + 116} \\ { - 9x - x = - 240} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - 2x + 116} \\ { - 10x = - 240} \end{array}} \right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - 2 \times 24 + 116} \\ {x = 24} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 68} \\ {x = 24} \end{array}} \right.

Portanto, x = 24{\text{ e }}y = 68.
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Exercício bem Legal de Função

By Smatias / Posted on 22:10 / ,

Função Quadrática

Exercício 1
Considere a função h definida por h\left( x \right) = 2{x^2} - \frac{4}{3}x.
Determine:
1. os zeros da função.
2. o vértice e o eixo de simetria da parábola que representa graficamente a função.
3. dois objetos, distintos dos zeros, que tenham a mesma imagem.
4. os valores x de tais que h\left( x \right) > \frac{{16}}{9} .

Resolução do exercício de matemática:

1.

h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - \frac{4}{3}x = 0 \Leftrightarrow x\left( {2x - \frac{4}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee 2x - \frac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow x = 0 \vee 2x = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \frac{2}{3}

S = \left\{ {0,\frac{2}{3}} \right\}

2.

h\left( x \right) = 2{x^2} - \frac{4}{3}x = 2\left( {{x^2} - \frac{2}{3}x} \right) = 2\left( {{x^2} - \frac{2}{3}x + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right) =

= 2\left( {{x^2} - \frac{2}{3}x + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right) - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} \times 2 = 2{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{2}{9}

Coordenadas do vértice:   V\left( {\frac{1}{3}, - \frac{2}{9}} \right)

Eixo de simetria:   x = \frac{1}{3}

3.

Os objetos pretendidos têm que estar à mesma distância do eixo de simetria.
Por exemplo:

\frac{1}{3} - 2 = - \frac{5}{3}

\frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}

Logo, - \frac{5}{3} e \frac{7}{3}  são dois objetos que têm a mesma imagem.

4.

h\left( x \right) > \frac{{16}}{9} \Leftrightarrow 2{x^2} - \frac{4}{3}x > \frac{{16}}{9} \Leftrightarrow 2{x^2} - \frac{4}{3}x - \frac{{16}}{9} > 0

Cálculo auxiliar:

2{x^2} - \frac{4}{3}x - \frac{{16}}{9} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\frac{4}{3} \pm \sqrt {{{\left( { - \frac{4}{3}} \right)}^2} - 4 \times 2 \times \left( { - \frac{{16}}{9}} \right)} }}{{2 \times 2}} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow x = \frac{{\frac{4}{3} \pm 4}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{\frac{{16}}{3}}}{4} \vee x = \frac{{ - \frac{8}{3}}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{4}{3} \vee x = - \frac{2}{3}

Funções

S = \left] { - \infty , - \frac{2}{3}} \right[ \cup \left] {\frac{4}{3}, + \infty } \right[
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Equação é y = 2x^2 - 8x + 6

By Smatias / Posted on 00:30 / ,
A parábola, cuja equação é y = 2x^2 - 8x + 6, corta o eixo dos x em dois pontos cujas abcissas são:
a) 1 e 2 b) 1 e 3 c) 2 e 3 d) 2 e 4 e) 2 e 5



Solução:
Os pontos em que uma curva corta o eixo “x” (eixo das abcissas) são as raízes da equação, ou seja,
os pontos em que y = 0. Assim:
2x^2 - 8x + 6 = 0 ⇒ (vamos dividi-la por “2”, para facilitar o cálculo) ⇒ x^2 - 4x + 3 = 0 ⇒
(Bháskara) ⇒ x’ = 1 e x” = 3
Resposta: letra b.
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Função Quadrática

By Smatias / Posted on 18:28 / ,

Função Quadrática ou Função Polinomial do 2° grau

É uma função qualquer dada pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais e a diferente de 0. Vejamos alguns exemplos de função quadrática:

f(x) = 2x² + x + 3; a = 2, b = 1 e c = 3
f(x) = x² +5x + 4; a = 1, b = 5 e c =4
f(x) = x² + x + 2;  a = 1, b = 1 e c =2

O gráfico da função  quadrática se caracteriza por uma parábola.

Zeros ou raízes da função

São os números reais tais que f(x) = 0, ou seja, as soluções da equação do 2° grau ax² + bx + c = 0 são as raízes da função quadrática, as quais são dadas pela formula de Bhaskara

  x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.

 sendo f(x) = ax² + bx + c


Gráfico









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