Será que o teorema é de Pitágoras?

O teorema de Pitágoras foi descoberto independentemente nas antigas civilizações babilônica, indiana, chinesa e grega.A história do teorema pode ser dividida em quatro partes: o conhecimento de trios pitagóricos, conhecimento da relação entre os lados de um triângulo retângulo, conhecimento das relações entre ângulos adjacentes, e demonstrações do teorema dentro de sistemas dedutivos.

10. Egito

    O historiador da matemática alemão Moritz Cantor, tomando por base que 3² + 4² = 5² era conhecido dos egípcios e que eles usavam cordas em agrimensura, especulou que eles construíam ângulos retos por meio de um uma corda com nós para formar um triângulo de lados 3, 4 e 5. Bartel van der Waerden afirmou que não há evidências que sustentem esta especulação, visão compartilhada por Thomas Little Heath.^[46]
    

    Mesopotâmia

    Há provas que os antigos babilônios já conheciam o teorema muito antes de Pitágoras. Tabletes de barro do período de 1800 a.C. a 1600 a.C. foram encontrados e estudados, estando hoje em vários museus. Um deles, Plimpton 322, mostra uma tabela de 15 linhas e 3 colunas, ilustrando trios pitagóricos.
    

    Índia

    Na Índia, o Sulba Sutra escrito por Baudhayana em data incerta entre os séculos VIII a.C. e II a.C., contém unha lista de trios pitagóricos descobertos algebricamente, um enunciado do teorema de Pitágoras, e uma demostração geométrica deste para um triângulo retângulo isósceles. O Sulba Sutra de Apastamba (ca. 600 a.C.) contém uma demostração numérica do caso geral do teorema de Pitágoras, usando cálculo de áreas. Van der Waerden acreditava que esta demostração "estava certamente baseada em tradições antigas". Carl Benjamin Boyer pensava que os elementos achados em Śulba-sũtram deviam ter raízes mesopotâmicas.^[47]
    

    China

    Na China, o teorema também já era conhecido cerca de 600 anos antes do período Pitagórico. O problema "Gou Gu", do famoso livro chinês Zhoubi Saunjing é uma evidência da existência de conhecimento a respeito do teorema. ^[48]
    

    Grécia

    Pitágoras (569 a.C. - 475 a.C.) usou métodos algébricos para construir trios pitagóricos, de acordo com os comentários de Proclo sobre Euclides. Proclo, porém, escreveu entre os anos 410 e 485 d.C. Segundo Sir Thomas L. Heath (1861–1940), não existe nenhuma atribuição específica do teorema a Pitágoras na literatura grega que se conserva dos cinco séculos posteriores à época em que Pitágoras viveu.[49] No entanto, quando autores como Plutarco e Cícero atribuíram o teorema a Pitágoras, fizeram-no de tal forma que sugeria que esta atribuição era amplamente conhecida e livre de qualquer dúvida. "Se esta fórmula é corretamente atribuída ao próprio Pitágoras, [...] pode-se assumir com certeza que pertence ao período mais antigo da matemática pitagórica"Segundo Proclo, por volta do ano 400 a.C. Platão forneceu um método para encontrar trios pitagóricos que combinava álgebra e geometria. A demostração axiomática do teorema mais antiga que se conhece aparece nos Elementos de Euclides, que data aproximadamente do ano 300 a.C.
    

Segredos da Função Seno

Estudo da Função seno

Considera a função real de variável real , definida por .

1. Indica o dominio de .

2. Esboça o gráfico de .

3. A partir do gráfico obtido, faz um estudo da função quanto a:

a. Período

b. Zeros

c. Extremos e extremantes

d. Paridade

e. Injetividade

f. Contradomínio

Resolução do Exercício de Matemática
1. Sendo o domínio de uma função o conjunto dos valores que podemos atribuir à variável independente , temos que .
2. Para representar graficamente a função podemos utilizar o estudo efetuado no círculo trignométrico, relativo aos extremos e zeros.

3. Com base na representação gráfica apresentada podemos afirmar que:

a. Periodicidade: é uma função periódica de período positivo mínimo , o que significa que a função seno assume os mesmos valores de  em , isto é

b. Zeros: admite zeros em

c. Extremos: Os extremos e extremantes de são:

i. Mínimo = -1.

ii. Minimizantes:

iii. Máximo = 1.

iv. Maximizantes:

d. Paridade: é uma função ímpar, pois . Graficamente esta propriedade traduz-se pela existência de simetria relativamente à origem do referencial.

e. Injetividade: não é injetiva, pois é uma função periódica, isto é, há inúmeros objetos diferentes que têm a mesma imagem, exemplo

f. Contradomínio: 

Função Afim

Considere duas variáveis sendo x  e y uma dependente da outra, ou seja , para cada valor atribuído x corresponde a um valor de y sendo assim dizemos que y esta em função de x. Os valores atribuídos a x chamamos de domínio da função e os valores de y chamamos de imagem da função
Toda função é definida por uma lei de formação, no caso da função de primeiro grau sua lei e a seguinte:

Y = ax + y

Onde a e b são números reais sendo a diferente de 0.
O ponto b indica o ponto de encontro (intersecção) da função com o eixo de y.
A função pode ser crescente, decrescente e constante.
Função crescente: a medida que os valores de x aumentam, os valores de y correspondete tambem aumenta
Função decrescente: a medida que os valors de x aumentam, os valores de y corresponde diminuem.
Ex: y = 2x + 5
      y = 3x - 1

Gráfico

TFC/1996 (ESAF) O jornal Correio Brasiliense publicou, em 12/1/97, na reportagem “MEC ensaia mudanças em universidades”, um parágrafo assim

TFC/1996 (ESAF) O jornal Correio Brasiliense publicou, em 12/1/97, na reportagem “MEC ensaia mudanças em universidades”, um parágrafo assim redigido:

http://matcalculo.blogspot.com.br/(...) Esses (salários), no entanto, são engordados com vantagens típicas do serviço

público federal – adicionais por tempo de serviço, função comissionada e gratificação de

atividade executiva, por exemplo, que multiplica por 160% o salário-base de todos os

servidores públicos federais.

Sabendo que a gratificação de atividade executiva corresponde a um adicional de 160% sobre o

salário-base do servidor público, a frase sublinhada no texto estaria correta se tivesse sido redigida

do seguinte modo:

a) que multiplica por 1,6 o salário-base de todos os servidores públicos federais.

b) que multiplica por 2,6 o salário-base de cada servidor público federal.

c) que multiplica por 160 o salário-base de cada servidor público federal.

d) que acrescenta ao salário-base de todos os servidores públicos federais um valor superior ao

dobro do salário-base.

e) que torna o salário de cada servidor público federal superior ao triplo do salário-base.

Solução: Um modo direto para se resolver este tipo de questão é: sempre que um número ou uma

importância será ACRESCIDA de um percentual, o valor final será dado pela multiplicação desse

número ou importância por (1 + i), onde “i” é a taxa percentual de acréscimo colocada sempre na

forma UNITÁRIA. Desse modo, como aqui não temos a importância sobre a qual iremos acrescer os

160%, diremos que tal importância é igual a S (Salário). Então: S . (1 + 1,6) = 2,6 . S. O salário-base

ficará MULTIPLICADO por 2,6, quando acrescido em 160%.

Resposta: letra b.

O governo autorizou, em janeiro deste ano, um aumento das tarifas de chamadas locais de telefones fixos para telefones...

O governo autorizou, em janeiro deste ano, um aumento das tarifas de chamadas locais de
telefones fixos para telefones móveis. Essas tarifas custavam R$ 0,27. por minuto e passaram a
custar R$ 0,30 por minuto. João fez uma ligação que durou "x" minutos. O valor que João vai pagar
pela ligação com a nova tarifa somado ao valor que ele pagaria pela ligação com a tarifa antiga é de
R$ 3,99. O tempo gasto, em segundos, na ligação que João fez é:
a) 210 b) 350 c) 420 d) 540 e) 570

CONFIRA O CANAL MATCÁLCULO
Solução: Se estamos SOMANDO os valores com a tarifa antiga e com a nova, teremos:
(0,27 + 0,30) . X = 3,99 ⇒ x = 7 MINUTOS
Solicitou-se a resposta EM SEGUNDOS. Assim: 7 x 60 = 420 segundos
Resposta: letra c.

PI

O Número Pi (p)

Se você pegar qualquer círculo, medir a sua circunferência (perímetro) e dividir o resultado pelo diâmetro desse círculo, vai encontrar sempre este número:

3,14

            Se você aproximar mais o número, vai achar:

3,14159

            Aproximando mais ainda, achará:

3.14159265358

            Se sua calculadora tiver espaço bastante, você poderá chegar a

3.14159265358979323846264

            Ainda dá para aproximar mais, chegando a:

3.1415926535897932384626433832795028841

            Mais um pouco e você chega a:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058

            A essa altura, talvez você queira saber até onde vai essa aproximação. Aí, uma surpresa: vai até o infinito, não acaba nunca! Você passaria o resto da sua vida fazendo aproximações e jamais terminaria! Não importa o tamanho do círculo, ele pode ser enorme ou bem pequeno, o resultado será sempre este mesmo número,chamado de “pi” pelos matemáticos e representado pela letra grega p (lê-se “pi”). É a mais antiga constante matemática que se conhece. É um número irracional, com infinitas casas decimais. Em 1997, Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tóquiochegaram a 51.539.600.000 (cinquenta e um bilhões, quinhentos e trinta e nove milhões e seiscentas mil) casas decimais. Só podia ser japonês pra fazer isso…

PRF/1998 (NCE-UFRJ) Uma caixa de fósforos tem 1 cm de altura e o comprimento tem 2 cm a mais que a largura. Se o...

Uma caixa de fósforos tem 1 cm de altura e o comprimento tem 2 cm a mais que a largura. Se o
volume da caixa é de 24 cm2, o comprimento da caixa, em metros, é:
a) 0,04 b) 0,05 c) 0,06 d) 0,10 e) 0,12
Solução:
O Volume de um Prisma é dado por: V = a . b . c, onde a, b e c são suas dimensões, ou seja
comprimento, largura e altura. Substituindo-se os dados do problema na fórmula, teremos:
Dados: a = 1 cm; b = c - 2, V = 24 cm2. Considerando-se a como altura, b como largura e c como
comprimento. Desse modo:
24 = 1× (c − 2) × c ⇒ c^2 − 2. c − 24 = 0 ⇒ c = 6 cm.
Passando para metros (conforme foi solicitado no problema): c = 0,06 m
Resposta: letra c

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Na Figura está representado o retângulo de jogo de um campo de futebol

Na Figura está representado o retângulo de jogo de um campo de futebol. Determine
uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal
de juros simples utilizada?
a) 2% b) 3% c) 4% d) 5% e) 6%

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Solução: Uma questão muito fácil! Retirando-se a entrada do valor da geladeira, restará o “saldo” a
ser financiado: SALDO = 1000 - 200 = 800
Com a fórmula do Montante para juros simples: M = C.(1+ i.n)
Substituindo-se os dados do problema na fórmula acima, teremos: 880 = 800 × (1+ i × 2)
Logo, i = 5%
Resposta: letra d

Desconto Comercial Simples: DC = N.d.n (De NaDa)

18) Um título de valor nominal de R$ 10.000,00, a vencer exatamente dentro de 3 meses, será
resgatado hoje, por meio de um desconto comercial simples a uma taxa de 4% ao mês. O desconto
obtido é de
a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 c) R$ 1.200,00
d) R$ 2.000,00 e) R$ 4.000,00




Solução:
Um problema de aplicação direta da fórmula do Desconto Comercial Simples: DC = N.d.n , onde:
DC é o desconto comercial simples; N é o valor nominal do título; d é a taxa de desconto; n é o prazo
de antecipação. Temos: N = 10000; n = 3 meses; d = 4% ao mês.
DC= 10000 × 0,04 × 3 = 1200
Resposta: letra c.

Hipótese de Poincaré

Hipótese de Poincaré

Vamos começar pelo que já foi resolvido, para mostrar que eles não são tão impossíveis assim. A Hipótese de Poincaré, proposta pelo matemático francês Henri Poincaré, exige um esforço de imaginação enorme. O cérebro humano só consegue perceber três dimensões, representadas por profundidade, largura e comprimento. No entanto, sabe-se que existem outras dimensões, e isso é provado matematicamente. Acontece que a Hipótese de Poincaré, conhecida como problema da laranja na quarta dimensão, deixa justamente essa dimensão de fora.

Imagine uma laranja ou mesmo o planeta Terra. Um ponto na parte superior da laranja, ou o polo da Terra, pode ser ligado a qualquer ponto da superfície por um único meridiano. Além disso, todos esses meridianos se cruzam apenas em um único outro ponto, que seria o Polo Sul. Com objetos que têm três dimensões, como é o caso da laranja, não é difícil. Mas a topologia, ramo da matemática criada por Poincaré, trabalha com objetos de n dimensões. O modelo proposto pelo matemático servia para qualquer número de n, exceto o quatro. Até que, em 2010, o Instituto Clay anunciou que a solução havia sido encontrada pelo russo Grigory Perelman, que se recusou a receber o prêmio de US$ 1 milhão.