Operações Lógicas sobre Proposições
Os
conectivos lógicos são responsáveis pela formação de proposições a partir de
proposições. Essas operações lógicas realizadas sobre os enunciados obedecem a
regras de um cálculo, denominado Cálculo Proposicional, semelhante ao da
aritmética sobre números.
A fim
de simplificarmos o estudo, apresentaremos os conectivos lógicos através de
suas respectivas tabelas-verdade.
1 Negação: ‘~‘
Dado um enunciado qualquer ‘p’, podemos
formar o enunciado ‘~p’, dito negação de ‘p’. Se ‘p’ for um enunciado
verdadeiro, ‘~p’ é falso. Se ‘p’ for um enunciado falso, então ‘~p’ é
verdadeiro.
Assim,
considerando o enunciado
p: O sol é uma estrela
sua
negação será
~p: O sol não é uma estrela
ou também
~p: não é o caso que o sol seja uma
estrela
Uma
vez que p é verdadeiro, teremos então que ~p é um enunciado falso.
Exercício: Escreva ~p em linguagem corrente e
indique seu valor lógico:
1)
p:
A neve é branca
2)
p:
Roma é a capital da França
3)
p:
Realengo pertence à Zona Sul do Rio.
2 Conjunção ‘ /\ ’
Dados dois enunciados, podemos obter um terceiro, dito conjunção
dos dois primeiros, pela ação do conectivo
‘/\’. Assim, dados dois enunciados:
Brasília é uma cidade
e
Brasília é a capital do Brasil
podemos
formar a conjunção
Brasília é uma cidade /\ Brasília é a capital do Brasil
É
importante ter presente que o uso dos conectivos em Lógica permite ligar
enunciados sem qualquer tipo de vínculo significativo entre eles, como por
exemplo:
O café está amargo /\ Cláudia estuda música
A
interpretação do conectivo ‘/\’ é análoga à linguagem corrente, veja
pela tabela:
p
|
q
|
p /\ q
|
V
V
F
F
|
V
F
V
F
|
V
F
F
F
|
Assim,
considerando os enunciados
p: A neve é branca
q: 2<5
a
conjunção será
p/\q: A
neve é branca e 2<5
Uma
vez que p é verdadeiro e q também é verdadeiro, teremos então p/\q
verdadeiro.
Exercício: Indique o valor lógico de pÙq
considerando os seguintes enunciados:
1) p: O enxofre é verde -
q: 7 é um número primo
2) p: A Lua é uma estrela - q: Saturno é um planeta
3) p: Cabral descobriu o Brasil - q:
Portugal é um continente
3 Disjunção ‘\/’
Na linguagem corrente existem, pelo
menos, dois usos distintos do conectivo ‘ou’ – o uso exclusivo e o uso
não-exclusivo. Vejamos os exemplos:
(1) Mariana é alagoana ou cearense
(2) Carla é médica ou professora
No primeiro exemplo o uso
do ‘ou’ é exclusivo pois as duas situações não podem ocorrer simultaneamente.
No segundo exemplo temos a utilização
do ‘ou’ não-exclusivo pois ambas as proposições podem ser verdadeiras.
A disjunção representada pelo conectivo
lógico ‘\/’ tem o sentido não-exclusivo, conforme apresentado pela
tabela abaixo:
p
|
q
|
p \/ q
|
V
V
F
F
|
V
F
V
F
|
V
V
v
F
|
Assim,
considerando os enunciados
p: A neve é azul
q: 2>5
a
disjunção será
p\/q: A
neve é azul \/ 2>5
Uma
vez que p é falso e q também é falso, teremos então pÚq
falso.
Exercício: Indique o valor lógico de p\/q
considerando os seguintes enunciados
1) p:
O enxofre é verde - q: 7 é um
número primo
2) p:
A Lua é uma estrela - q: Saturno é um
planeta
3) p:
Cabral descobriu o Brasil - q: Portugal é um continente
4 Condicional ‘=>’
(se ... então)
Para
melhor compreendermos esse conectivo, vejamos quatro possíveis casos para a
seguinte declaração:
(1) Se amanhã fizer sol então Joana irá
à praia
1o
caso: Fez sol e Joana foi à praia – podemos concluir que o enunciado (1) é
verdadeiro.
2o
caso: Fez sol e Joana não foi à praia – aqui podemos concluir que (1) é um
enunciado falso.
3o
caso: Não fez sol e Joana não foi à praia – podemos concluir que o enunciado
(1) é verdadeiro.
4o
casos: Não fez sol e Joana foi à praia – ainda podemos concluir que o enunciado
(1) é verdadeiro.
Assim,
a tabela de valores lógicos da condicional é:
p
|
q
|
p => q
|
V
V
F
F
|
V
F
V
F
|
V
F
V
V
|
Na
condicional p => q
i)
‘p’
é dito antecedente da condicional ou
condição suficiente para ‘q’
ii)
‘q’
é dito conseqüente da condicional ou
condição necessária para ‘p’
Exercício: Indique o valor lógico de p => q considerando os seguintes enunciados
1) p:
O enxofre é verde - q: 7 é um
número primo
2) p:
A Lua é uma estrela - q: Saturno é um
planeta
3) p:
Cabral descobriu o Brasil - q: Portugal é um continente
5 Bicondicional ‘<=>’
(se e somente se)
Dados dois enunciados podemos formar um terceiro, dito
bicondicional dos dois primeiros, pela ação do conectivo ‘<=>’. Assim, ‘p<=>q’, será dito bicondicional de ‘p’ e
‘q’. Um enunciado dessa forma será considerado verdadeiro se seus constituintes
tiverem o mesmo valor lógico, isto é, se ambos forem verdadeiros ou se ambos
forem falsos.
Tem-se
então a seguinte tabela de verdade para a bicondicional:
p
|
q
|
p<=>q
|
V
V
F
F
|
V
F
V
F
|
V
F
F
V
|
Na
bicondicional ‘p<=>q’
i)
‘p’
é dito condição necessária e suficiente
para ‘q’
ii)
‘q’
é dito condição necessária e suficiente
para ‘p’
Note-se
que o conectivo ‘<=>’ pode ser definido mediante ‘=>’
e ‘/\’. Assim a fórmula ‘p<=>q’ equivale à fórmula ‘(p=>q) /\ (q=>p)’
.
