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Operações Lógicas

Operações Lógicas sobre Proposições 

Os conectivos lógicos são responsáveis pela formação de proposições a partir de proposições. Essas operações lógicas realizadas sobre os enunciados obedecem a regras de um cálculo, denominado Cálculo Proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números.


A fim de simplificarmos o estudo, apresentaremos os conectivos lógicos através de suas respectivas tabelas-verdade.



1 Negação: ‘~‘

Dado um enunciado qualquer ‘p’, podemos formar o enunciado ‘~p’, dito negação de ‘p’. Se ‘p’ for um enunciado verdadeiro, ‘~p’ é falso. Se ‘p’ for um enunciado falso, então ‘~p’ é verdadeiro.

p
~p
V
F
F
V

Assim, considerando o enunciado
                   
p: O sol é uma estrela

sua negação será
~p: O sol não é uma estrela
ou  também
~p: não é o caso que o sol seja uma estrela

Uma vez que p é verdadeiro, teremos então que ~p é um enunciado falso.

Exercício: Escreva ~p em linguagem corrente e indique seu valor lógico:
1)   p: A neve é branca
2)   p: Roma é a capital da França
3)   p: Realengo pertence à Zona Sul do Rio.

2 Conjunção ‘ /\

Dados dois enunciados, podemos obter um terceiro, dito conjunção dos dois primeiros, pela ação do conectivo  /\’. Assim, dados dois enunciados:

Brasília é uma cidade

e

Brasília é a capital do Brasil


podemos formar a conjunção

Brasília é uma cidade /\ Brasília é a capital do Brasil


É importante ter presente que o uso dos conectivos em Lógica permite ligar enunciados sem qualquer tipo de vínculo significativo entre eles, como por exemplo:

O café está amargo /\ Cláudia estuda música


A interpretação do conectivo ‘/\’ é análoga à linguagem corrente, veja pela tabela:

p
q
p /\ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F

Assim, considerando os enunciados
                              p: A neve é branca
                              q: 2<5
a conjunção será
                              p/\q: A neve é branca e 2<5
                   
Uma vez que p é verdadeiro e q também é verdadeiro, teremos então p/\q verdadeiro.

Exercício: Indique o valor lógico de pÙq considerando os seguintes enunciados:
1)   p: O enxofre é verde    -   q: 7 é um  número primo
2)   p: A Lua é uma estrela    - q: Saturno é um planeta
3)   p: Cabral descobriu o Brasil  -  q: Portugal é um continente

3 Disjunção ‘\/

Na linguagem corrente existem, pelo menos, dois usos distintos do conectivo ‘ou’ – o uso exclusivo e o uso não-exclusivo. Vejamos os exemplos:

(1)  Mariana é alagoana ou cearense
(2)  Carla é médica ou professora

No primeiro exemplo o uso do ‘ou’ é exclusivo pois as duas situações não podem ocorrer simultaneamente.

No segundo exemplo temos a utilização do ‘ou’ não-exclusivo pois ambas as proposições podem ser verdadeiras.

A disjunção representada pelo conectivo lógico ‘\/’ tem o sentido não-exclusivo, conforme apresentado pela tabela abaixo:

p
q
p \/ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
v
F
Assim, considerando os enunciados
                              p: A neve é azul
                              q: 2>5
a disjunção será
                              p\/q: A neve é azul \/ 2>5
                   
Uma vez que p é falso e q também é falso, teremos então pÚq falso.

Exercício: Indique o valor lógico de p\/q considerando os seguintes enunciados

1) p: O enxofre é verde    -   q: 7 é um  número primo
2) p: A Lua é uma estrela    - q: Saturno é um planeta
3) p: Cabral descobriu o Brasil  -  q: Portugal é um continente

4 Condicional ‘=>’ (se ... então)

Para melhor compreendermos esse conectivo, vejamos quatro possíveis casos para a seguinte declaração:
(1) Se amanhã fizer sol então Joana irá à praia

1o caso: Fez sol e Joana foi à praia – podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

2o caso: Fez sol e Joana não foi à praia – aqui podemos concluir que (1) é um enunciado falso.

3o caso: Não fez sol e Joana não foi à praia – podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

4o casos: Não fez sol e Joana foi à praia – ainda podemos concluir que o enunciado (1) é verdadeiro.

Assim, a tabela de valores lógicos da condicional é:

p
q
p => q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V

Na condicional p => q

i)            ‘p’ é dito antecedente da condicional ou condição suficiente para ‘q’
ii)           ‘q’ é dito conseqüente da condicional ou condição necessária para ‘p’

Exercício: Indique o valor lógico de p => q considerando os seguintes enunciados

1) p: O enxofre é verde    -   q: 7 é um  número primo
2) p: A Lua é uma estrela    - q: Saturno é um planeta
3) p: Cabral descobriu o Brasil  -  q: Portugal é um continente


5 Bicondicional ‘<=>’ (se e somente se)

Dados dois enunciados podemos formar um terceiro, dito bicondicional dos dois primeiros, pela ação do conectivo <=>’. Assim, ‘p<=>q’, será dito bicondicional de ‘p’ e ‘q’. Um enunciado dessa forma será considerado verdadeiro se seus constituintes tiverem o mesmo valor lógico, isto é, se ambos forem verdadeiros ou se ambos forem falsos.

          Tem-se então a seguinte tabela de verdade para a bicondicional:

p
q
p<=>q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V

Na bicondicional ‘p<=>q’

i)            ‘p’ é dito condição necessária e suficiente para ‘q’
ii)           ‘q’ é dito condição necessária e suficiente para ‘p’

Note-se que o conectivo ‘<=>’ pode ser definido mediante ‘=>’ e ‘/\’. Assim a fórmula ‘p<=>q’ equivale à fórmula ‘(p=>q) /\ (q=>p)’  .




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Números Complexos

Definição

Denomina-se número complexo toda expressão da forma a + bi, em que a e b são números reais, e i é chamado de unidade imaginária, sendo i² = -1

Forma Algébrica

Todo número complexo pode ser escrito da forma Z = a + bi, denominada forma algébriga, onde:
a = parte real do número complexo e pertence ao conjunto dos número reais
bi = parte imaginária, observando que b pertence ao conjunto dos números reias.


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Desafio dos 4 quatros.

Desafio aceito?

O desafio consiste em escrever um número qualquer usando apenas operaçãoes basicas e apenas quatro números quatro. Por exemplo: como fazer para formar número 0?

44 - 44 = 0

Observe que, foi usado apenas quatro números quatro.

Exemplo: Como formar o número 1?

44 \ 44 = 1

Agora observando essas regras podemos formar qualquer número de 0 à 100. Mas nosso desafio é formar apenas até o número 25, topa?


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Tautologia, Contradição e Contingência




Tautologia, Contradição e Contingência


1 Tautologia

Denomina-se tautologia ou proposição tautológica a proposição composta que é sempre verdadeira. Na tabela de verdade de uma proposição tautológica, a última coluna contém somente valores V (verdadeiro).

2 Contradição

Denomina-se contradição ou proposição contraditória a proposição composta que é sempre falsa. Na tabela de verdade de uma proposição contraditória, a última coluna contém somente valores F (falso).

3 Contingência

Denomina-se contingência ou proposição proposição contingencial a proposição composta que pode ser verdadeira e pode ser falsa.  Na tabela de verdade de uma proposição tautológica, a última coluna contém valores V (verdadeiro) e F(falso).
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Trigonometria resumo


Trigonometria

Um pequeno resuminho de trigonometria