Função Exponencial, definição de

Função Exponencial

 A função exponencial tem como sua principal característica o seguinte. É que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 ^x
y = 3 ^{x + 4}y = 0,5 ^xy = 4 ^x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

f: R→R tal que y = a ^x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 * 2 ^–0,2*10
12 000 = v0 * 2 ^–2
12 000 = v0 * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

Qual a sua dúvida?

Função AFIM ou QUADRÁTICA, MEDIDAS DE COMPRIMENTO

 MEDIDAS DE ÁREA, MEDIDAS VOLUME, MEDIDAS DE CAPACIDADE LITROS

POTENCIAÇÃO, LOG, P.A, PRODUTO NOTÁVEL, CURIOSIDADE Qual a sua dúvida?

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Provo para vc que 2 é igual a 1 ou prove que estou errado!

Hoje vou desafiar seu pensamento. Se já souber a resposta tudo bem, mostre ao seu amigo e pergunte se ele realmente sabe matemática.
Vamos aos cálculos.

A = B e A = B = 1

então 

A = B;

A² = AB.

Se adicionar  (-B²) a igualdade ficamos assim:

A² - B² = AB - B²

Aplicando as propriedades do produto notável no primeiro termo e 

fazendo a distributiva no segundo termo temos;

(A + B)(A - B) = B(A - B)

Agora passando (A - B), que multiplica (A + B), para outro lado temos

(A + B) = [B(A - B)] : (A - B)

Resolvendo o segundo lado da igualdade temos

(A + B) = B x 1 

 (A + B) = B

Se A = B = 1 então

(A + A) = A  para B = A, ou;

(B + B) = B para A = B

lembrando que Se A = B = 1 então

1 + 1 = 1

Resolvendo o primeiro termo fica

2 = 1

Agora onde esta o erro??

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PI, o número!

O Número Pi (p)

Se você pegar qualquer círculo, medir a sua circunferência (perímetro) e dividir o resultado pelo diâmetro desse círculo, vai encontrar sempre este número:

3,14

            Se você aproximar mais o número, vai achar:

3,14159

            Aproximando mais ainda, achará:

3.14159265358

            Se sua calculadora tiver espaço bastante, você poderá chegar a

3.14159265358979323846264

            Ainda dá para aproximar mais, chegando a:

3.1415926535897932384626433832795028841

            Mais um pouco e você chega a:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058

            A essa altura, talvez você queira saber até onde vai essa aproximação. Aí, uma surpresa: vai até o infinito, não acaba nunca! Você passaria o resto da sua vida fazendo aproximações e jamais terminaria! Não importa o tamanho do círculo, ele pode ser enorme ou bem pequeno, o resultado será sempre este mesmo número,chamado de “pi” pelos matemáticos e representado pela letra grega p (lê-se “pi”). É a mais antiga constante matemática que se conhece. É um número irracional, com infinitas casas decimais. Em 1997, Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tóquiochegaram a 51.539.600.000 (cinquenta e um bilhões, quinhentos e trinta e nove milhões e seiscentas mil) casas decimais. Só podia ser japonês pra fazer isso…

Número de Ouro, Proporção Aurea, Número de Deus

Número de Ouro 

A história deste número irracional e enigmático se entrelaça e ao mesmo tempo se perde dentro da antiguidade, por causa da necessidade e da procura de uma perfeição, uma beleza, um equilíbrio e uma harmonia que é perceptível na natureza das coisas. Por muitos anos as pessoas procuravam padrões para as criações mas, não se achava tal padrão, embora ele sempre estivesse lá desde os tempos mais remotos da natureza. Sua procura sempre foi uma meta, tendo em vista que, sua descoberta tenha sido um mistério porque não se sabe ao certo quando e quem descobriu esta relação natural e nem que deu origem ao número áureo. A insistente procura e investigação da razão que justificasse o número de ouro como modelo e padrão de beleza, fez com que o matemático alemão Zeizing formulasse o seguinte principio:

"Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar à parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo."

Zeizing – (1855)

 Suas origens são antiguíssimas no Egito, por exemplo nas pirâmides de Gizé, a razão entre a altura de uma face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro, ou seja, foram construídas levando-se em conta a Divina proporção.

O interessante é que no papiro encontravam-se citações de uma razão sagrada como é o caso de Rhind, um documento Egípcio que está em papiro e encontra–se no museu britânico e neste documento egípcio de cerca de 1650 a.C temos 85 problemas matemáticos copiados de um trabalho mais antigo por um escriba Ahmes. O documento refere-se a uma razão sagrada que se crê ser o número de ouro. No próprio Egito na tumba de Khesi-Ra, um sacerdote egípcio do deus GOR, o deus da harmonia, que viveu por volta de 2700 a.c. foi encontrado um cânone arquitetônico que prova conhecimento da proporção áurea e provavelmente do teorema de Pitágoras. Passando pelo mundo para mais longe, desde a Grécia antiga os homens já faziam uso da proporção. Os gregos consideraram que o retângulo cujos lados expressavam esta relação, apresentava uma especial harmonia e um equilíbrio da estética. O retângulo que apresentava esta harmonia em sua estrutura foi nomeado de retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional. Centenas de anos atrás entre 447 e 433 A.C. o Parthenon Grego foi construído usando este numero. Na fachada do Parthenon, contem o retângulo de ouro na razão entre largura e altura, isso revela que desde aqueles tempos já se procurava a construção de algo harmonioso. O arquiteto deste templo foi Fídias, o grego que teve a primeira letra do seu nome, a letra grega (Phi maiúsculo), para ser designada como nomenclatura da razão áurea e quem teve esta idéia foi Mark Barr, no começo do século XX, por que no princípio para essa razão era a letra grega (tau) que significa o corte.

Phi foi um dos primeiros números irracionais que se teve consciência. Os pitagoricos também o usaram na construção da estrela pentagonal. Na construção da sua estrela pentagonal os pitagoricos não conseguiram exprimir o quociente entre dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda lógica que conheciam e defendiam, pois acreditavam que o mundo fosse construído por números inteiros. Pitágoras de Samos adotou um pentagrama como símbolo de sua escola, que é a estrela de cinco pontas formada por um pentágono regular.

No pentágono regular as diagonais se seccionam mutuamente na proporção áurea, são os seus cinco menores triângulos e a razão entre o lado do pentágono que circunscreve o pentagrama e o lado do pentágono interno, formado pelas diagonais, é igual a φ². A escola pitagórica escolheu o duodecaedro como sólido perfeito pois este se baseia na Relação áurea. O duodecaedro possui 12 faces e 60 vértices, sendo construído sobre um pentágono regular.

Na Itália Leonardo  Da Vinci (1452-1519) utilizava esta proporção em suas obras, trazendo a excelência em suas criações usando a proporção áurea como ferramenta.  Observando cautelosamente as mais famosas e impressionantes obras como a Mona Lisa, o Homem Virtruviano e A Ultima Ceia, tem a divina proporção com o retângulo áurea se observadas minuciosamente. 


 Um vídeo muito legal do assunto AQUIIII

Será que o teorema é de Pitágoras?

O teorema de Pitágoras foi descoberto independentemente nas antigas civilizações babilônica, indiana, chinesa e grega.A história do teorema pode ser dividida em quatro partes: o conhecimento de trios pitagóricos, conhecimento da relação entre os lados de um triângulo retângulo, conhecimento das relações entre ângulos adjacentes, e demonstrações do teorema dentro de sistemas dedutivos.

10. Egito

    O historiador da matemática alemão Moritz Cantor, tomando por base que 3² + 4² = 5² era conhecido dos egípcios e que eles usavam cordas em agrimensura, especulou que eles construíam ângulos retos por meio de um uma corda com nós para formar um triângulo de lados 3, 4 e 5. Bartel van der Waerden afirmou que não há evidências que sustentem esta especulação, visão compartilhada por Thomas Little Heath.^[46]
    

    Mesopotâmia

    Há provas que os antigos babilônios já conheciam o teorema muito antes de Pitágoras. Tabletes de barro do período de 1800 a.C. a 1600 a.C. foram encontrados e estudados, estando hoje em vários museus. Um deles, Plimpton 322, mostra uma tabela de 15 linhas e 3 colunas, ilustrando trios pitagóricos.
    

    Índia

    Na Índia, o Sulba Sutra escrito por Baudhayana em data incerta entre os séculos VIII a.C. e II a.C., contém unha lista de trios pitagóricos descobertos algebricamente, um enunciado do teorema de Pitágoras, e uma demostração geométrica deste para um triângulo retângulo isósceles. O Sulba Sutra de Apastamba (ca. 600 a.C.) contém uma demostração numérica do caso geral do teorema de Pitágoras, usando cálculo de áreas. Van der Waerden acreditava que esta demostração "estava certamente baseada em tradições antigas". Carl Benjamin Boyer pensava que os elementos achados em Śulba-sũtram deviam ter raízes mesopotâmicas.^[47]
    

    China

    Na China, o teorema também já era conhecido cerca de 600 anos antes do período Pitagórico. O problema "Gou Gu", do famoso livro chinês Zhoubi Saunjing é uma evidência da existência de conhecimento a respeito do teorema. ^[48]
    

    Grécia

    Pitágoras (569 a.C. - 475 a.C.) usou métodos algébricos para construir trios pitagóricos, de acordo com os comentários de Proclo sobre Euclides. Proclo, porém, escreveu entre os anos 410 e 485 d.C. Segundo Sir Thomas L. Heath (1861–1940), não existe nenhuma atribuição específica do teorema a Pitágoras na literatura grega que se conserva dos cinco séculos posteriores à época em que Pitágoras viveu.[49] No entanto, quando autores como Plutarco e Cícero atribuíram o teorema a Pitágoras, fizeram-no de tal forma que sugeria que esta atribuição era amplamente conhecida e livre de qualquer dúvida. "Se esta fórmula é corretamente atribuída ao próprio Pitágoras, [...] pode-se assumir com certeza que pertence ao período mais antigo da matemática pitagórica"Segundo Proclo, por volta do ano 400 a.C. Platão forneceu um método para encontrar trios pitagóricos que combinava álgebra e geometria. A demostração axiomática do teorema mais antiga que se conhece aparece nos Elementos de Euclides, que data aproximadamente do ano 300 a.C.
    

Segredos da Função Seno

Estudo da Função seno

Considera a função real de variável real , definida por .

1. Indica o dominio de .

2. Esboça o gráfico de .

3. A partir do gráfico obtido, faz um estudo da função quanto a:

a. Período

b. Zeros

c. Extremos e extremantes

d. Paridade

e. Injetividade

f. Contradomínio

Resolução do Exercício de Matemática
1. Sendo o domínio de uma função o conjunto dos valores que podemos atribuir à variável independente , temos que .
2. Para representar graficamente a função podemos utilizar o estudo efetuado no círculo trignométrico, relativo aos extremos e zeros.

3. Com base na representação gráfica apresentada podemos afirmar que:

a. Periodicidade: é uma função periódica de período positivo mínimo , o que significa que a função seno assume os mesmos valores de  em , isto é

b. Zeros: admite zeros em

c. Extremos: Os extremos e extremantes de são:

i. Mínimo = -1.

ii. Minimizantes:

iii. Máximo = 1.

iv. Maximizantes:

d. Paridade: é uma função ímpar, pois . Graficamente esta propriedade traduz-se pela existência de simetria relativamente à origem do referencial.

e. Injetividade: não é injetiva, pois é uma função periódica, isto é, há inúmeros objetos diferentes que têm a mesma imagem, exemplo

f. Contradomínio: 

Função Afim

Considere duas variáveis sendo x  e y uma dependente da outra, ou seja , para cada valor atribuído x corresponde a um valor de y sendo assim dizemos que y esta em função de x. Os valores atribuídos a x chamamos de domínio da função e os valores de y chamamos de imagem da função
Toda função é definida por uma lei de formação, no caso da função de primeiro grau sua lei e a seguinte:

Y = ax + y

Onde a e b são números reais sendo a diferente de 0.
O ponto b indica o ponto de encontro (intersecção) da função com o eixo de y.
A função pode ser crescente, decrescente e constante.
Função crescente: a medida que os valores de x aumentam, os valores de y correspondete tambem aumenta
Função decrescente: a medida que os valors de x aumentam, os valores de y corresponde diminuem.
Ex: y = 2x + 5
      y = 3x - 1

Gráfico

TFC/1996 (ESAF) O jornal Correio Brasiliense publicou, em 12/1/97, na reportagem “MEC ensaia mudanças em universidades”, um parágrafo assim

TFC/1996 (ESAF) O jornal Correio Brasiliense publicou, em 12/1/97, na reportagem “MEC ensaia mudanças em universidades”, um parágrafo assim redigido:

http://matcalculo.blogspot.com.br/(...) Esses (salários), no entanto, são engordados com vantagens típicas do serviço

público federal – adicionais por tempo de serviço, função comissionada e gratificação de

atividade executiva, por exemplo, que multiplica por 160% o salário-base de todos os

servidores públicos federais.

Sabendo que a gratificação de atividade executiva corresponde a um adicional de 160% sobre o

salário-base do servidor público, a frase sublinhada no texto estaria correta se tivesse sido redigida

do seguinte modo:

a) que multiplica por 1,6 o salário-base de todos os servidores públicos federais.

b) que multiplica por 2,6 o salário-base de cada servidor público federal.

c) que multiplica por 160 o salário-base de cada servidor público federal.

d) que acrescenta ao salário-base de todos os servidores públicos federais um valor superior ao

dobro do salário-base.

e) que torna o salário de cada servidor público federal superior ao triplo do salário-base.

Solução: Um modo direto para se resolver este tipo de questão é: sempre que um número ou uma

importância será ACRESCIDA de um percentual, o valor final será dado pela multiplicação desse

número ou importância por (1 + i), onde “i” é a taxa percentual de acréscimo colocada sempre na

forma UNITÁRIA. Desse modo, como aqui não temos a importância sobre a qual iremos acrescer os

160%, diremos que tal importância é igual a S (Salário). Então: S . (1 + 1,6) = 2,6 . S. O salário-base

ficará MULTIPLICADO por 2,6, quando acrescido em 160%.

Resposta: letra b.

O governo autorizou, em janeiro deste ano, um aumento das tarifas de chamadas locais de telefones fixos para telefones...

O governo autorizou, em janeiro deste ano, um aumento das tarifas de chamadas locais de
telefones fixos para telefones móveis. Essas tarifas custavam R$ 0,27. por minuto e passaram a
custar R$ 0,30 por minuto. João fez uma ligação que durou "x" minutos. O valor que João vai pagar
pela ligação com a nova tarifa somado ao valor que ele pagaria pela ligação com a tarifa antiga é de
R$ 3,99. O tempo gasto, em segundos, na ligação que João fez é:
a) 210 b) 350 c) 420 d) 540 e) 570

CONFIRA O CANAL MATCÁLCULO
Solução: Se estamos SOMANDO os valores com a tarifa antiga e com a nova, teremos:
(0,27 + 0,30) . X = 3,99 ⇒ x = 7 MINUTOS
Solicitou-se a resposta EM SEGUNDOS. Assim: 7 x 60 = 420 segundos
Resposta: letra c.