Hipótese de Poincaré

Hipótese de Poincaré

Vamos começar pelo que já foi resolvido, para mostrar que eles não são tão impossíveis assim. A Hipótese de Poincaré, proposta pelo matemático francês Henri Poincaré, exige um esforço de imaginação enorme. O cérebro humano só consegue perceber três dimensões, representadas por profundidade, largura e comprimento. No entanto, sabe-se que existem outras dimensões, e isso é provado matematicamente. Acontece que a Hipótese de Poincaré, conhecida como problema da laranja na quarta dimensão, deixa justamente essa dimensão de fora.

Imagine uma laranja ou mesmo o planeta Terra. Um ponto na parte superior da laranja, ou o polo da Terra, pode ser ligado a qualquer ponto da superfície por um único meridiano. Além disso, todos esses meridianos se cruzam apenas em um único outro ponto, que seria o Polo Sul. Com objetos que têm três dimensões, como é o caso da laranja, não é difícil. Mas a topologia, ramo da matemática criada por Poincaré, trabalha com objetos de n dimensões. O modelo proposto pelo matemático servia para qualquer número de n, exceto o quatro. Até que, em 2010, o Instituto Clay anunciou que a solução havia sido encontrada pelo russo Grigory Perelman, que se recusou a receber o prêmio de US$ 1 milhão.

As telas da maioria dos televisores são semelhantes a um retângulo de lados 3 e 4?

As telas da maioria dos televisores são semelhantes a um retângulo de lados 3 e 4. Quando se
diz que um televisor tem 20 polegadas, significa que essa é a medida da diagonal de sua tela,
estando correto concluir que as medidas dos lados da tela, em polegadas, são
a) 3 e 4 b) 6 e 8 c) 10 e 15 d) 12 e 16 e) 16 e 20

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Solução:
Um retângulo de lados 3 e 4 tem uma diagonal igual a 5. Temos aqui um triângulo retângulo
PITAGÓRICO. Os triângulos retângulos PITAGÓRICOS são: [3, 4, 5] (onde 3 e 4 são seus catetos e
5 é a hipotenusa) e TODOS os seus múltiplos, ou seja: (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20) e assim por
diante...
Mantendo-se a proporção com o retângulo de lados 3 e 4, um retângulo que tem para diagonal o
valor 20, só pode ter lados iguais a 12 e 16!
Resposta: letra d.

“Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”

Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro
que:
a) algum A não é G
b) algum A é G
 c) nenhum A é G
d) algum G é A
e) nenhum G é A



Solução:
Uma forma de se resolver rapidamente este tipo de questão é fazendo o seguinte:
Nas proposições categóricas do tipo:
• Todo A é B (proposição universal afirmativa);
• Nenhum A é B (proposição universal negativa);
• Algum A é B (proposição particular afirmativa);
• Algum A não é B (proposição particular negativa).
Proceda do seguinte modo:
• Elimine os atributos comuns às duas proposições;
• Conclua do seguinte modo:
⇒ “Todo” com “Nenhum” resulta “Nenhum”, associando os atributos restantes;
⇒ “Todo” com “Algum” resulta “Algum” associando os atributos restantes;
⇒ “Nenhum” com “Algum” resulta “Algum... não é...” associando os atributos restantes.
Neste questão temos que:
• Alguns A são R
• Nenhum G é R
O atributo comum aqui é o “R”. Eliminando-o, ficaremos com Algum A não é G
Resposta: letra a.

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Equação é y = 2x^2 - 8x + 6

A parábola, cuja equação é y = 2x^2 - 8x + 6, corta o eixo dos x em dois pontos cujas abcissas são:
a) 1 e 2 b) 1 e 3 c) 2 e 3 d) 2 e 4 e) 2 e 5



Solução:
Os pontos em que uma curva corta o eixo “x” (eixo das abcissas) são as raízes da equação, ou seja,
os pontos em que y = 0. Assim:
2x^2 - 8x + 6 = 0 ⇒ (vamos dividi-la por “2”, para facilitar o cálculo) ⇒ x^2 - 4x + 3 = 0 ⇒
(Bháskara) ⇒ x’ = 1 e x” = 3
Resposta: letra b.

Um pequeno container com Substância

Um pequeno container em forma de paralelepípedo pesa vazio 20 kg e tem como medidas
externas 50 cm de altura e base retangular com 3 dm por 400 mm. Considerando que ele está cheio
de uma substância homogênea que pesa 1,5 kg por litro e que ocupa o espaço correspondente a
90% do seu volume externo, o peso total do container e da substância é, em quilogramas:
a) 60 b) 81 c) 90 d) 101 e) 110
Solução:
Como 1 dm^3 = 1 litro , vamos transformar as dimensões do container para dm, calculando, em
seguida o valor do seu volume:
V = 5 x 3 x 4 = 60 dm^3 ou 60 litros. A substância no interior do container ocupa 90% desse volume e pesa 1,5 kg por litro. Desse modo: 60 x 1,5 x 0,9 = 81 kg. CUIDADO!! Este é o peso SÓ da
substância. O problema pede o cálculo do peso total, isto é, da substância MAIS o container. Então:
81 + 20 = 101 kg
Resposta: letra d.

Os saldos de Eduardo nos Bancos Alpha e Lótus

Eduardo possui duas contas bancárias: uma no Banco Alpha e outra no Banco Lótus. O saldo de

sua conta no Banco Alpha possui 3 unidades monetárias a menos do que o seu saldo no Banco

Lótus. Além disso, o dobro de seu saldo no Banco Alpha mais o triplo de seu saldo no Banco Lótus é

igual a 24 unidades monetárias. Os saldos de Eduardo nos Bancos Alpha e Lótus são,

respectivamente:

a) 1 e 3 b) 3 e 6 c) 4 e 7 d) 5 e 8 e) 6 e 9

Solução:

Seja “x” o saldo no Banco Alpha e “y” o saldo no Banco Lótus. Assim, podemos escrever:

x = y - 3

2x + 3y = 24.

Temos um sistema de duas equações e duas incógnitas. Vamos aproveitar a primeira equação e

resolvê-lo por substituição:

2.(y - 3) + 3y = 24 ⇒ 2y - 6 + 3y = 24 ⇒ 5y = 24 + 6 ⇒ 5y = 30 ⇒ y = 30/5 ⇒ y = 6.

Voltando à primeira equação, teremos o valor de “x”: x = 6 - 3 ⇒ x = 3

Resposta: letra b.

Se os trabalhadores de uma certa empresa forem organizados em grupos de 4 ou 5 ou 6 pessoas...

Se os trabalhadores de uma certa empresa forem organizados em grupos de 4 ou 5 ou 6
pessoas, sempre sobrarão 3 trabalhadores. A empresa pretende aumentar o número de seus
trabalhadores para 80. Para isso, o número de novos trabalhadores que ele deverá contratar é:
a) 12 b) 17 c) 20 d) 25 e) 60
Solução: O n.º atual de funcionários da empresa é um múltiplo comum de 4, 5 e 6 acrescido de 3
unidades. Logo: MMC (4, 5, 6) = 60. Somando-se 3 a este valor chegamos a 63 funcionários. Se a
empresa pretende aumentar esse número para 80, deverá contratar mais 17 funcionários.
Resposta: letra b.

diâmetro de um círculo

Aumentando o diâmetro de um círculo em 20%, a área do disco aumentará em
a) 20% b) 25% c) 35% d) 44% e) 50%
Solução:
Ao aumentarmos o diâmetro de um círculo em 20%, seu raio TAMBÉM aumenta em 20%. Todavia,
sua área é calculada por: A = π.r^2. Dessa forma, a área sofrerá DOIS aumentos sucessivos de 20%.
Através do método “Cuca Legal” para acréscimos sucessivos, o aumento acumulado será de 44%.
Uma outra maneira de se resolver seria “atribuir” um valor para o raio, por exemplo: r = 10. O círculo
terá uma área de: A = 100. π. Ao aumentarmos esse raio em 20%, ele passará para: r = 12 e a área
do círculo passará a ser de: A = 144. π. Comparando-se este valor com o anterior, percebe-se um
aumento de 44 em 100 (ou 44%). Você também poderia aplicar aqui a fórmula da VARIAÇÃO
PERCENTUAL (com o valor inicial de 100 e o valor final de 144).
Resposta: letra d.

O teorema que não é de Pitágoras!

Quem descobriu o Teorema de Pitágoras?

(cateto oposto)² + (cateto adjacente)² = (hipotenusa)²

A tradição matemática ocidental, durante longo tempo, atribuiu a descoberta deste teorema a Pitágoras. Pesquisas históricas mais recentes constataram que o teorema era conhecido pelos babilônios, cerca de 1500 a.C., portanto muito tempo antes de Pitágoras. Os chineses o conheciam talvez por volta de 1100 a.C. e os hindus provavelmente cerca de 500 a.C.

Fonte: Boyer, C.B., História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996.

João e Maria acertaram seus relógios

 João e Maria acertaram seus relógios às 14 horas do dia 7 de março. O relógio de João adianta
20 s por dia e o de Maria atrasa 16 s por dia. Dias depois, João e Maria se encontraram e notaram
uma diferença de 4 minutos e 30 segundos entre os horários que seus relógios marcavam. Em que
dia e hora eles se encontraram?
a) Em 12/03 à meia noite. b) Em 13/03 ao meio dia. c) Em 14/03 às 14 h
d) Em 14/03 às 22 h. e) Em 15/03 às 2 h.
Solução:
Se o relógio de João adianta 20 s por dia e o relógio de Maria atrasa 16 s por dia, então, a cada dia,
seus relógios apresentarão uma diferença de 20 + 16 = 36 s. Ora, a diferença total entre os dois
relógios, após X dias, era, em segundos, de 4 x 60 + 30 = 270 s. Para encontrarmos o número de
dias necessários para perfazer esta diferença, basta dividirmos a diferença total (270) pela diferença
diária (36). Encontraremos 7,5 (sete dias e meio, ou seja, sete dias mais doze horas). Somando-se 7
dias a partir do dia 7 de março, iremos para o dia 14 de março. Entretanto, ao somarmos as 12 horas
(meio dia) com a hora em que os relógios foram acertados (14 horas), iremos ultrapassar as 24 horas
do dia 14, indo para 2h da manhã do dia 15 de março.
Resposta: letra e.